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Función logarítmica

La función logarítmica de base a es la inversa de la función exponencial de base a. Los valores de la función log_a se denotan como log_a (x) y puesto que log_a y la función exponencial con base a son inversas se puede afirmar que:

f(x) = log_a (x)    si y sólo     si x = a^y

El dominio de la función es el conjunto de números reales positivos y su ámbito o recorrido es el conjunto de los números reales..

1) La función f(x)=log_a(x)

La siguiente escena recrea el comportamiento de la función f(x) = log_a (x). Analiza el comportamiento de la función a medida que modificas los valores de x.  Observa también como cambia la gráfica, a medida que modificas la base a.

Determina algunos logaritmos, por ejemplo, los logaritmos de 2, 4, 8, 16 en base dos y los logaritmos en base diez de algunas potencias de este número.

Relación entre la función logarítmica

y la función exponencial

La siguiente escena modela el comportamiento de la función exponencial y su inversa la función logarítmica para diferente valores de la base. Observa que las dos gráficas son reflexiones mutuas con respecto a la recta y=x.

Utiliza la escena para comparar el comportamiento de las funciones para diferentes bases. En particular:

a) Representa la gráfica de la función y= log₂(x)

•  Analiza el comportamiento de las dos funciones para valores de x cercanos al cero.

• ¿Está la función logarítmica definida para los reales negativos? ¿Y para el valor cero?

• ¿Observas alguna simetría con respecto a la recta y=x?

• ¿Cuál es el comportamiento de las funciones cuando x aumenta sin límites? ¿Cundo x tiende a cero?

b) Representa la gráfica de la función y= log_1/2 (x)

•  Analiza el comportamiento de las dos funciones para valores de x cercanos al cero.

• ¿Está la función logarítmica definida para los reales negativos? ¿Y para el valor cero?

• ¿Observas alguna simetría con respecto a la recta y=x?

• ¿Cuál es el comportamiento de las funciones cuando x aumenta sin límites? ¿Cundo x tiende a cero?

c) Establece diferencias entre las gráficas de las funciones logarítmicas cuando la base (a) es mayor que uno y cuando toma valores entre cero y uno. Verifica que:

• Si a>1 entonces log_a (x) aumenta a medida que x aumenta.

• Si 0<a<1, log_a (x) disminuye  a medida que x aumenta.

• Si a>1 entonces log_a (x) es positivo si x>1.

• Si a>1, entonces log_a (x) es negativo si 0<x<1.

• La función no está definida para x £ 0.

• La función logarítmica corta al eje x siempre en x=1.

• loga (x) = 1 si y sólo si x=a

• Si a>1 entonces log_a (x) tiende a menos infinito (-∞) a medida que x tiende a cero por la derecha.

• Si 0<a<1 loga (x) tiende a infinito (∞) a medida que x se acerca a cero por la derecha.

• log_a 1 = 0

• log_a a = 1.

La función logaritmo Natural o Neperiano

La función logarítmica de base e se le llama función logarítmica natural. La función logarítmica natural es la inversa de la función exponencial natural.

La función logarítmica natural puede denotarse como loge, pero es más común la expresión ln, "logarítmo natural". Los valores de la función ln se denotan como ln x. Puesto que el logaritmo natural y la función exponente natural son inversas, se puede decir que:

lnx=y si x=e^y

La escena que sigue muestra las gráficas de las funciones exponencial y logaritmo. Utiliza los controles para encontrar una table de valores de cada una de las funciones f(x)=ln (x) y x=e^y.

Al igual que en las otras escenas, compara las dos funciones, determina sus características y la relación entre ellas.

El autor de la primera escena es Leoncio Santos Cuervo. Las otras dos escenas son de José Luís Abreu León. Todas las escenas pertenecen al Centro Nacional de Información y Comunicación Educativa, CNICE, Proyecto Descartes, http://descartes.cnice.mecd.es